/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000007*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓N␈↓ α⊂␈ε"The␈αharmonic␈αanalysis␈αof␈αautomorphic␈αfunctions␈αhas␈αbeen␈αextensiv␈α␈ely␈αstudied;
␈β↓y␈↓ ↓H␈ε"references␈αto␈αthe␈αpertinen␈α␈t␈αparts␈αof␈αthis␈αtheory␈αare␈αcon␈α␈tained␈αin␈αour␈αmonograph.W␈α⎇e
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"recall␈αthat␈αthe␈αPoincar␈↓ ∧+␈ε"∞␈↓ ∧,␈ε"e␈↓ ∧H␈ε"plane␈↓ ¬(␈ε"¬␈↓ ¬B␈ε",␈αthat␈αis␈αthe␈αupper␈αhalf-plane
␈βαz␈↓ ¬∃␈ε(w␈↓ ¬:␈ε"=␈ε(␈α
x␈ε"␈αλ+␈ε(␈αλi␈↓ ε<␈ε(y␈↓ εO␈ε",␈↓ π'␈ε(y␈↓ πD␈ε">␈α
0,␈↓ ⊗␈ε"(1.1)
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"serv␈α␈es␈αas␈αa␈αmodel␈αfor␈αa␈αnon-Euclidean␈αgeometry␈αin␈αwhich␈αthe␈αmotions␈αare␈αgiv␈α␈en␈αby
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"the␈αgroup␈ε(␈αG␈ε"␈αof␈αfractional␈αlinear␈αtransformations:
␈β∧K␈↓ εB␈ε(a␈↓ εU␈ε(w␈↓ εx␈ε"+␈ε(␈αλb
␈β∧c␈↓ ↓H␈ε"(1.2)␈↓ ¬l␈ε(w␈↓ ε⊂␈ε6!
␈β∧w␈↓ εB␈∧∧wεBαr
␈β∧|␈↓ εC␈ε(c␈↓ εR␈ε(w␈↓ εu␈ε"+␈ε(␈αλd
␈β¬K␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αa␈ε",␈ε(␈αεb␈ε",␈ε(␈αεc␈ε",␈ε(␈αεd␈ε"␈αare␈αreal␈αand
␈βε"␈↓ ↓H␈ε"(1.3)␈↓ ¬l␈ε(ad␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλbc␈ε"␈α
=␈α
1;
␈βεx␈↓ ↓H␈ε(G␈ε"␈αis␈αisomorphic␈αwith␈↓ ∧≤␈ε(S␈↓ ∧5␈ε(L␈ε"(2,␈↓ ∧{␈ε(R␈↓ ¬→␈ε")/␈↓ ¬T␈ε(I␈↓ ¬f␈ε".␈α⊂The␈αRiemannian␈αmetric
␈βε␈␈↓ ¬7␈ε9ε
␈βπG␈↓ ε'␈ε%2␈↓ π⊃␈ε%2
␈βπM␈↓ ε↓␈ε(d␈↓ ε∪␈ε(x␈↓ ε@␈ε"+␈ε(␈αλd␈↓ ε}␈ε(y
␈βπe␈↓ ↓H␈ε"(1.4)
␈βπy␈↓ ε↓␈∧πyε↓α↓!
␈βπ{␈↓ εS␈ε%2
␈βπ␈␈↓ ε@␈ε(y
␈βλM␈↓ ↓H␈ε"is␈αin␈α␈v␈α}arian␈α␈t␈αunder␈αthis␈αgroup␈αof␈αmotions.␈α⊂The␈αin␈α␈v␈α}arian␈α␈t␈↓ λ6␈ε(L␈↓ λj␈ε"form␈αis
␈βλZ␈↓ λN␈ε%2
␈β	
␈↓ ¬c␈ε↓Z␈↓ επ␈ε↓Z
␈β	!␈↓ εa␈ε(dx␈αεd␈↓ π∨␈ε(y
␈β	1␈↓ εF␈ε%2
␈β	9␈↓ ↓H␈ε"(1.5)␈↓ ε1␈ε(u␈↓ π6␈ε".
␈β	M␈↓ εa␈∧	MεaαR
␈β	P␈↓ π
␈ε%2
␈β	S␈↓ εx␈ε(y
␈β∂↑␈↓ εI␈ε"1
␈β⊃C

␈β↓F␈↓ ∧z␈ε+p
␈β↓L␈↓ α⊂␈ε"F␈α⎇or␈ε(␈α∪p␈ε6␈α⊗∃␈ε"␈α⊗1,␈α∃w␈α␈e␈α∪let␈↓ ∧b␈ε(L␈↓ ¬␈ε"(␈
)␈α∪denote␈α∪the␈α∀classical␈α∪Banach␈α∪space␈α∪consisting␈α∀of
␈β↓q␈↓ 	?␈ε+p
␈β↓w␈↓ ↓H␈ε"measurable␈αfunctions␈αon␈α␈
␈αthat␈αare␈ε(␈αp␈ε"-in␈α␈tegrable.␈α⊂The␈αnorm␈αin␈↓ 	'␈ε(L␈↓ 	O␈ε"(␈
)␈αde|ned␈αby
␈βαC␈↓ εI␈ε↓Z
␈βαI␈↓ πv␈ε%1/␈ε+␈α↓p
␈βαV␈↓ ε3␈ε↓∩␈↓ π`␈ε↓∪
␈βαg␈↓ π#␈ε+p
␈βαo␈↓ ∧t␈ε6k␈ε(u␈ε6k␈↓ ε¬␈ε"=␈↓ εz␈ε6j␈ε(u␈↓ π→␈ε6j␈↓ π:␈ε(dx␈↓ λ%␈ε".␈↓ ⊗␈ε"(7.3)
␈βα␈␈↓ ¬A␈ε-p
␈ββ↓␈↓ ¬-␈ε+L␈↓ ¬O␈ε%(␈α↓␈
␈α␈)
␈ββ∩␈↓ ε]␈ε%␈

␈ββU␈↓ β'␈ε91
␈ββ[␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈ε(␈αp␈ε"␈α=␈ε6␈α
1␈ε",␈↓ β∂␈ε(L␈↓ βF␈ε"(␈
)␈αdenotes␈αthe␈α
Banach␈αspace␈αof␈α
bounded␈αfunctions␈αon␈α
␈
␈αwith␈α
the
␈β∧ε␈↓ ↓H␈ε"norm
␈β∧1␈↓ ¬∩␈ε6k␈ε(u␈ε6k␈↓ ε.␈ε"=␈↓ ε\␈ε"sup␈↓ π_␈ε6j␈ε(u␈ε6j␈ε".(7.4)
␈β∧B␈↓ ¬←␈ε;1
␈β∧C␈↓ ¬K␈ε+L␈↓ ¬x␈ε%(␈α↓␈
␈α␈)
␈β∧X␈↓ εl␈ε%␈

␈β¬
␈↓ ↓H␈ε"In␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αw␈α␈e␈αshall␈αuse␈↓ ¬∩␈ε6k␈ε(u␈ε6␈α␈k␈↓ ¬g␈ε"for␈↓ ε∨␈ε6k␈ε(u␈ε6k␈↓ π3␈ε"when␈αthere␈αis␈αno␈αam␈α␈biguit␈α␈y.
␈β¬≥␈↓ εl␈ε-p
␈β¬∨␈↓ ¬J␈ε+p␈↓ εX␈ε+L␈↓ ε{␈ε%(␈
)
␈β∂↑␈↓ εI␈ε"2
␈β⊃C/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=∩∪ZZ/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=¬
∞()+,-./0123457:;=>BEFIPRTWabcdefghilmnoprstuvwxy||/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=
()/122/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=GILRSabcdipuwxyy/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=Lpp/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=pp/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=∃!1jkk/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=ε11/FONT#59=cmsy5[XGP,SYS]=11